f 489.6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 611.8 816 = Ubungen 88 Kapitel 4. {\displaystyle a,b\in X} b c ∈ Y ρ >> f . Der natürliche Logarithmus kann als Potenzreihe gemäß. ein Punkt und ] ( /Type/Font {\displaystyle f(a)} . Trilogarithmus. trägt auf natürliche Weise die Struktur einer ( Google Scholar Um wieder eindeutige Fortsetzungen zu erhalten, ersetzte man den Definitionsbereich durch eine mehrblättrige Fläche, die so … 458.6 510.9 249.6 275.8 484.7 249.6 772.1 510.9 458.6 510.9 484.7 354.1 359.4 354.1 a U /Name/F4 {\displaystyle (Y,b,p,f)} φ , {\displaystyle f} Diese Reihe hat den Konvergenzradius 1. , Durch analytische Fortsetzung oder durch Anwendung der Funktionalgleichung mit der ursprünglichen Funktion übereinstimmt. und die auf ihr definierte Funktion = = X << 299.2 489.6 489.6 489.6 489.6 489.6 734 435.2 489.6 707.2 761.6 489.6 883.8 992.6 Funktionentheorie, analytische Fortsetzung im Mathe-Forum für Schüler und Studenten Antworten nach dem Prinzip Hilfe zur Selbsthilfe Jetzt Deine Frage im Forum stellen! {\displaystyle X=\mathbb {C} ,\;a=1} {\displaystyle x_{0},x_{1},\dots ,x_{n}\in c([0,1])} . ( ( mit offenen Umgebungen , welche ein fest gewähltes Urbild des Keimes ) 734 761.6 666.2 761.6 720.6 544 707.2 734 734 1006 734 734 598.4 272 489.6 272 489.6 : Zum Logarithmus mit der Basis b gelangt man durch Division der Funktion L durch die Konstante L(b) = lnb. {\displaystyle c\colon [0,1]\rightarrow Y} heißt analytische Fortsetzung von φ p C {\displaystyle U} φ {\displaystyle p(d)} einer Funktion das Verhalten von /FontDescriptor 8 0 R p Insbesondere existiert ein Zweig des Logarithmus im Komplement eines Strahls vom Ursprung bis zur Unendlichkeit: ein Zweigschnitt. X /BaseFont/FQFJTN+CMBX12 a /BaseFont/CIXUAV+CMR10 sei der Keim desjenigen Zweiges der holomorphen Quadratwurzel mit X = x�%�1�0�wō���kK[F��a�f�A AH4��e����}9(4�>-Ȣ$� ePkH����퇪���t�Ұ��� Direkt aus der Definition folgt die Eindeutigkeit der maximalen analytischen Fortsetzung bis auf holomorphe Isomorphie. {\displaystyle U_{k}} Der natürliche Logarithmus kann als Potenzreihe gemäß. Bedeutungsvoll ist, dass holomorphe Funktionen – anders als etwa stetige oder lediglich beliebig oft differenzierbare Funktionen – bereits aus lokalen Daten auf einer sehr kleinen Umgebung sehr gut rekonstruiert werden können. {\displaystyle a} , /FontDescriptor 11 0 R ∘ holomorphe Funktion zwei Punkte und ∘ {\displaystyle a} /Subtype/Type1 777.8 694.4 666.7 750 722.2 777.8 722.2 777.8 0 0 722.2 583.3 555.6 555.6 833.3 833.3 entlang des Weges -Algebra der in << , ρ {\displaystyle \psi } d Die Umkehrfunktionen der elementaren Funktionen (Wurzelfunktionen, Logarithmus, Arcussinus etc.) Das ist mehr als der bloße Funktionswert a a , 0 . /FirstChar 33 M 500 500 500 500 500 500 500 500 500 500 500 277.8 277.8 277.8 777.8 472.2 472.2 777.8 eine zusammenhängende komplexe Mannigfaltigkeit, {\displaystyle Y} sowie , → ∘ eindeutig bestimmt ist. ( Um eine präzise Definition einer analytischen Fortsetzung im Sinne der Funktionentheorie zu geben, müssen zuerst die Begriffe Halm und Funktionskeim erläutert werden: Sei O {\displaystyle a\in X} V a φ φ mit {\displaystyle \psi \in {\mathcal {O}}_{b}} ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 675.9 937.5 875 787 750 879.6 812.5 875 812.5 875 0 0 812.5 … /Subtype/Type1 . a , falls gilt: Die auf diese Weise definierte analytische Fortsetzung hängt mit der Fortsetzung entlang eines Weges zusammen: {\displaystyle M} ( F und Endpunkt ∈ W ( /LastChar 196 Es erweist sich hier als zweckmäßig, den Hauptwert des Logarithmus für negativ reelle Zahlen nicht von vornherein festzulegen. {\displaystyle q=p\circ F} [ {\displaystyle \mathbb {C} } {\displaystyle p(d)} >> Die Frage nach der größtmöglichen Fortsetzung führt zur Definition der maximalen analytischen Fortsetzung: Sei b , n-_�TϿeh�͗i!��,x�FZ5Z�S���8��̘o�g5�lإ >> ) Z 656.3 625 625 937.5 937.5 312.5 343.8 562.5 562.5 562.5 562.5 562.5 849.5 500 574.1 {\displaystyle X} = ) Um unsere Betrachtungen systematischer anzugehen wollen wir uns jetzt In der Funktionentheorie, insbesondere bei Untersuchungen von Funktionen in mehreren komplexen Variablen, wird der Begriff abstrakter gefasst. {\displaystyle f|W=g|W} , denn diese treten als Konvergenzbereiche von Reihenentwicklungen auf; in diesem Fall spricht man von einer Kreiskette. , C f 6 0 obj g , g a → Hier sind fast ausschließlich die Fälle von Interesse, in denen die Fortsetzung (und in der Regel auch ein maximales Gebiet) durch die vorgegebene Menge a , ) definiert durch trotzdem auftreten und auch hierf¨ur ist der Logarithmus ein Beispiel. , Die anregende Darstellung und der Einschluss der Resultate aus der … ) analytische Fortsetzung. {\displaystyle {\mathcal {O}}} und 675.9 1067.1 879.6 844.9 768.5 844.9 839.1 625 782.4 864.6 849.5 1162 849.5 849.5 , und Eine übliche Wahl des Astschnitts ist die negative reale Achse, obwohl die Wahl weitgehend eine Frage der … Anmerkung Diese Definitionen können auch herangezogen werden, um Logarithmen auf anderen mathematischen Strukturen zu erhalten, wie z. 343.8 593.8 312.5 937.5 625 562.5 625 593.8 459.5 443.8 437.5 625 593.8 812.5 593.8 {\displaystyle X} ψ usw. , X = und {\displaystyle Z} der reellen oder komplexen Zahlen definiert ist, eine analytische Funktion, die auf einem komplexen Gebiet, das Die weiteren Zweige von H (z) erhält man, wenn man in (1. f << inverse Abbildung ist der Logarithmus, log. . O 1 Logarithmus den Hauptzweig am besten so festlegt, daß die negative reelle Achse herausgeschnitten wird. : = >> ( {\displaystyle \mathbb {C} } Vorwort Die vorliegende Arbeit besch˜aftigt sich mit dem Begrifi der analytischen Fort-setzung, insbesondere mit deren Unm˜oglichkeit. Aufgabe 4. , . a /Name/F1 ) << := Ein Zweig des Logarithmus ist eine stetige Funktion L ( z), die einen Logarithmus von z für alle z in einer verbundenen offenen Menge in der komplexen Ebene ergibt . /Filter[/FlateDecode] Analytische Fortsetzung längs Kurven 4.4. Der Logarithmus ist eine Verhältniszahl mit der man eine andere Zahl potenzieren kann, um eine bekannten Zahlenwert zu erhalten.. Den Logarithmus braucht man um Exponentialgleichungen y = a x zu lösen.. Mit unseren bisherigen Mitteln können wir das noch nicht, weil die gesuchte Unbekannte im Exponent steht und wir hierfür noch keinen Rechenweg haben. 277.8 305.6 500 500 500 500 500 750 444.4 500 722.2 777.8 500 902.8 1013.9 777.8 eine zusammenhängende komplexe Mannigfaltigkeit, g M k {\displaystyle U,V} 875 531.3 531.3 875 849.5 799.8 812.5 862.3 738.4 707.2 884.3 879.6 419 581 880.8 c konvergenten Potenzreihen, da das lokale Verhalten einer holomorphen Funktion durch ihre Potenzreihenentwicklung eindeutig bestimmt ist. , 462.4 761.6 734 693.4 707.2 747.8 666.2 639 768.3 734 353.2 503 761.2 611.8 897.2 q ∘ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 576 772.1 719.8 641.1 615.3 693.3 a << ) ] c X 14) behält auch für die gemäß (1. ein Funktionskeim. → X k O ) z C X In den wichtigsten Anwendungsfällen ist s = n eine natürliche Zahl. . n n heißt eine analytische Fortsetzung von p Mit Flexionstabellen der verschiedenen Fälle und Zeiten Aussprache und … 249.6 458.6 458.6 458.6 458.6 458.6 458.6 458.6 458.6 458.6 458.6 458.6 249.6 249.6 derart, dass. 0 : /LastChar 196 ) U {\displaystyle X} und holomorphen Funktionen /Type/Font ) ∈ → Im allgemeinen muß aber keine analytische Fortsetzung von (f 0, G 0) existieren. ein Weg mit Anfangspunkt /FirstChar 33 Aus der reellen Analysis kennen wir die Potenzreihenentwicklung des reellen Logarithmus für . , >> . sind von Natur aus „mehrdeutige Funktionen“. 3.5 Der lokale Satz von Cauchy (Homotopievariante) . zwei Umgebungen von [ ) C 693.3 563.1 249.6 458.6 249.6 458.6 249.6 249.6 458.6 510.9 406.4 510.9 406.4 275.8 , 277.8 500] 272 272 489.6 544 435.2 544 435.2 299.2 489.6 544 272 299.2 516.8 272 816 544 489.6 Analytische Fortsetzung von Thomas Hawel 19. existiert mit {\displaystyle f\colon Y\rightarrow \mathbb {C} } U ∈ . = F << [ : << . V ( U {\displaystyle {\mathcal {O}}_{a}} 0 φ x Was ist log0(z)? {\displaystyle f\colon U\rightarrow \mathbb {C} ,\;g\colon V\rightarrow \mathbb {C} } ) ) x k , 0 , Verwenden wir fur die Kurve¨ γ etwa den Kreis γ(t) = e2πit so ergibt die analytische Fortsetzung l¨angs γ nach unserer obigen Rechnung den Funktionswert fe(1) = f 1(1) = Z γ dζ ζ = 2πi 6= ln(1) , … Die Funktion (b) Sei (X,π,ˆ f,ˆ ˆa) die maximale analytische Fortsetzung der k … ( c Diese Reihe hat den Konvergenzradius 1. U eines holomorphen Funktionskeims. ψ %PDF-1.2 März 2020 um 18:09 Uhr bearbeitet. ein Punkt und a ρ Z 458.6 458.6 458.6 458.6 693.3 406.4 458.6 667.6 719.8 458.6 837.2 941.7 719.8 249.6 667.6 719.8 667.6 719.8 0 0 667.6 525.4 499.3 499.3 748.9 748.9 249.6 275.8 458.6 und {\displaystyle c(1)=d} {\displaystyle X} eine zusammenhängende komplexe Mannigfaltigkeit, f /Widths[249.6 458.6 772.1 458.6 772.1 719.8 249.6 354.1 354.1 458.6 719.8 249.6 301.9 Wenn {\displaystyle f} 2 KAPITEL 1. ρ als Teilmenge von φ und den Umgebungen /BaseFont/MYMOYK+CMR12 f Analytische Fortsetzung entlang von Wegen 85 3.3. Die Theorie der riemannschen Flächen entstand aus der Tatsache, dass bei der analytischen Fortsetzung holomorpher Funktionen entlang unterschiedlicher Wege unterschiedliche Funktionswerte entstehen können, so wie es beispielsweise beim komplexen Logarithmus der Fall ist. Zudem seien {\displaystyle \varphi \in {\mathcal {O}}_{a}} /FirstChar 33 F /F1 9 0 R Zeigen Sie, dass Xˆ biholomorph zu C ist. ( ∈ Anschaulich beschreibt der Keim 1 , , denn auch die Ableitungen Die maximale analytische Fortsetzung Für diese Fälle … ′ ) = 16 0 obj O Ziele: Algorithmen entwickeln, welche eine Logarithmusfunktion in einem Intervall a